miércoles, 16 de mayo de 2012

General

Método general dada la circunferencia - GeoGebra Hoja Dinámica






Método general dada la circunferencia



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Para construir un polígono regular dada la circunferencia en la cual se inscribe, se dibuja un diámetro BC y se divide entre el número de lados que a atender el polígono. En el caso del dibujo tenemos el diámetro vertical dividido en seis partes, lo que quiere decir que vamos a construir un hexágono regular. Para ello hemos aplicado el teorema de Tales, tomando sobre un segmento 6 cm, la división desde la letra B a la letra J sobre la recta roja. Se une el punto J con C, y por cada uno de los demás puntos I, H, G, etc., se hacen rectas paralelas (en color verde) hasta que cortan al diámetro vertical o rojo BC. De esta forma tenemos este diámetro dividido en las seis partes iguales. A continuación se toma centro en el punto C y con la distancia BC se hace un arco de circunferencia, hacemos lo mismo tomando centro en el punto B y con el mismo radio BC hacemos otro arco, que junto a la anterior se cortan en el punto R.
Por C hacemos una recta que pase siempre por el punto número dos del segmento vertical rojo, que en este caso es el punto M. 
(Independientemente del número de lados del polígono, la recta siempre debe pasar por el punto número dos, por la segunda división del segmento). La recta RM corta a la circunferencia en el punto O, por tanto el segmento CO es el lado del hexágono regular. A continuación basta con tomar esta medida de ir pasando la sobre la circunferencia para obtener la figura completa.

Polígonos regulares de 9 a 11 lados - GeoGebra Hoja Dinámica






Polígonos regulares de 6 a 12 lados



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Para construir un polígono regular de seis a 12 lados, dado el lado AB, tomamos centro en cada uno de los puntos AB y hacemos dos circunferencias cuyo radio sea este mismo lado AB. La intersección de las dos circunferencias determina el punto C6. Si construimos una circunferencia tomando como centro C6 con radio desde este punto hasta A, tenemos una circunferencia en la que al pasar este lado AB por ella obtenemos un hexágono regular. Si sobre esta circunferencia (en color azul), dividimos el radio en seis partes iguales, cada una de las divisiones nos determina el centro de la nueva circunferencia que tomando el radio desde el nuevo punto (por ejemplo desde C7 hasta A) tenemos la siguiente circunferencia que inscribe el heptágono recular.
Si tomamos la siguiente división con centro en el punto C8 y radio la distancia desde C8 hasta el punto A, tenemos una circunferencia (en color marrón) que inscribe un polígono regular de 8 lados, si tomamos centro en el punto C9 y el mismo radio obtenemos la circunferencia en la que se inscribe el eneágono, etc.















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Triángulo dada la altura - GeoGebra Hoja Dinámica






Triángulo dada la altura



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Para construir un triángulo equilátero dada la altura DE, dibujamos a partir del extremo de su base D un segmento cualquiera AB, tomando el extremo como centro de ese segmento. Hacemos centro en los puntos AB y tomando como radios la distancia AB hacemos dos circunferencias (en el dibujo discontinuas) que se cortan en un punto C. De esta manera hemos hecho un triángulo equilátero cualquiera, del lado AB. Para tener nuestro triángulo dada la altura DE, hacemos dos rectas paralelas a los lados del triángulo verde AC CB por el extremo superior E, obteniendo en la intersección con el lado AB los puntos FG, que junto a E determinan el triángulo equilátero buscado.


Triángulo dada la altura 2 - GeoGebra Hoja Dinámica






Triángulo dada la altura 2



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Para construir el triángulo equilátero dada la altura AB por otro método, tomamos centro en el punto B y con un radio cualquiera hacemos una circunferencia BC. Por B construimos una recta perpendicular a la altura dada AB que corta a la circunferencia anterior en los puntos ED. Tomamos en estos puntos centro y hacemos circunferencias iguales a la anterior que la cortan en los puntos FG. Unimos estos dos puntos GF con el extremo B y obtenemos dos rectas que cortan a la perpendicular por A al segmento BA en los puntos HI.
 BHI  es el triángulo equilátero buscado.


Triángulo dada la circunferencia circunscrita - GeoGebra Hoja Dinámica






Triángulo dada la circunferencia circunscrita



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Para construir un triángulo equilátero dada la circunferencia circunscrita en la que se inscribe (en color rojo), tomamos el centro A de la circunferencia y construimos un diámetro que corta a la misma en los puntos DC. Tomando centro en el punto D hacemos otra circunferencia que tenga igual diámetro (en el dibujo mediante una línea discontinua). Esta nueva circunferencia corta a la dada en los puntos EF, que unidos al punto C definen el triángulo equilátero inscrito CEF.
Si desconocemos el centro de la circunferencia roja dada, podemos obtenerlo dibujando dos cuerdas o rectas secantes a la misma, esto es, dos rectas que cortan a la circunferencia cada una en dos puntos. Si construimos las mediatrices (rectas perpendiculares a estos segmentos por sus puntos medios) de estas dos cuerdas obtenemos en la intersección de ambas el centro de la circunferencia A.



Triángulo dada la circunferencia inscrita - GeoGebra Hoja Dinámica






Triángulo dada la circunferencia inscrita



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Para construir un triángulo equilátero dada la circunferencia inscripta (esto es, la circunferencia interior que es tangente a sus lados) dibujamos el triángulo inscrito BED por el método del ejercicio anterior, a continuación unimos el punto A, (intersección de la circunferencia discontinua con el segmento vertical BC) con D y prolongamos esta recta hasta que corta a la perpendicular al segmento vertical CG por  C en el punto F. Por este punto hacemos rectas paralelas a los lados del triángulo azul, obteniendo así el punto G, por el que hacemos otra recta paralela al lado BE obteniendo en la intersección con la recta FC el punto H.
 HFG es el triángulo buscado circunscrito a la circunferencia.











Triángulo dado el lado - GeoGebra Hoja Dinámica






Triángulo dado el lado



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Para construir un triángulo equilátero dado el lado AB, hacemos dos circunferencias cuyo radio es este mismo lado AB y tomamos centro para las circunferencias en estos puntos AB. La intersección de las dos circunferencias determinan el otro vértice del triángulo C. 















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cuadrado dada la circunferencia circunscrita - GeoGebra Hoja Dinámica






cuadrado dada la circunferencia circunscrita



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Para construir un cuadrado dada la circunferencia circunscrita hacemos dos rectas perpendiculares por su centro A, donde estas dos rectas cortan a la circunferencia dada obtenemos los cuatro vértices del triángulo BCDE.







cuadrado dada la circunferencia inscrita - GeoGebra Hoja Dinámica






cuadrado dada la circunferencia inscrita



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Para construir un cuadrado dada la circunferencia inscrita, dibujamos por su centro A dos rectas perpendiculares y la bisectriz (recta que divide a ambas en dos ángulos iguales) de éstas. Si unimos las intersecciones BC de las rectas perpendiculares con la circunferencia obtenemos un segmento que correspondería al lado del cuadrado inscrito.
La bisectriz corta a la circunferencia en E, punto por el que hacemos una recta paralela a la cuerda BC. Esta recta corta a las perpendiculares en los puntos FG. Este es un lado del cuadrado. Por estos dos puntos hacemos rectas paralelas a la bisectriz AE, teniendo en la intersección con las perpendiculares por el centro A  los puntos HI.
FGHI ese cuadrado circunscrito a la circunferencia.



cuadrado dada la diagonal - GeoGebra Hoja Dinámica






cuadrado dada la diagonal



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Para construir un cuadrado dada la diagonal AB, dibujamos la recta perpendicular por el centro C del segmento (mediatriz). Donde esta recta cortada la circunferencia obtenemos los otros dos vértices del cuadrado DE.

cuadrado dado el lado - GeoGebra Hoja Dinámica






cuadrado dado el lado



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Para construir el cuadrado dado el lado AB dibujamos una circunferencia tomando centro en el extremo B del lado y como radio la mitad del segmento AB. Dibujamos otra circunferencia de igual radio y centro C. En la intersección de ambas circunferencias obtenemos el punto D,  por el que construimos otra circunferencia de igual radio que corta a la primera en E, por el que hacemos otra circunferencia de igual radio a las tres anteriores, de esta manera tenemos con la circunferencia anterior el punto de intersección F. mediante estas cuatro circunferencias pequeñas hemos obtenido la recta perpendicular FB al segmento dado AB por B. esta recta corta a la circunferencia de radio AB y centro en B en G. si dibujamos una recta paralela por A a la recta BG y otra recta paralela por G a la recta AB obtendremos los otros dos lados del cuadrado ABGH.










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Pentágono dada la circunferencia circunscrita - GeoGebra Hoja Dinámica






Pentágono dada la circunferencia circunscrita



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Pentágono dado el lado - GeoGebra Hoja Dinámica

Para construir un pentágono regular dada la circunferencia circunscrita (en color verde) dibujamos los dos diámetros perpendiculares y tomando el punto medio D de un radio CA como centro una nueva circunferencia con radio DE, siendo el punto E intersección de la recta perpendicular con la circunferencia dada. Ésta circunferencia corta a la recta CA en F. Tomando ahora centro en E y radio EF construimos otra circunferencia que corta a la original verde en el punto G. El segmento EG es el lado del pentágono recular inscrito en la circunferencia verde, basta con tomar esta medida de ir pasándola a través de la circunferencia para dibujar todo el pentágono.






Pentágono dado el lado



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Para construir el pentágono recular dado el lado AB trazamos una recta perpendicular al mismo por el extremo B. Dibujamos una circunferencia de radio AB y centro en B que corta al segmento vertical en el punto C. Tomamos ahora centro en la mitad D del segmento AB y hacemos otra circunferencia con radio DC que corta a la prolongación del segmento AB en el punto E. Estos dos segmentos AB y AE están en proporción áurea, al igual que el lado y la diagonal del pentágono. En consecuencia la intersección de la circunferencia de centro A y radio AE con la circunferencia de centro en B y radio AB definen el punto F del pentágono, obteniendo su simétrico F’ respecto la perpendicular al lado AB por D. Tomando centro en el punto F’ y como radio la distancia AB hacemos otra circunferencia que corta al segmento vertical por D en G, último vértice del pentágono regular.


















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Hexágono dada la circunferencia circunscrita - GeoGebra Hoja Dinámica






Hexágono dada la circunferencia circunscrita



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Para construir un hexágono regular dada la circunferencia en la que se inscribe, tomamos un punto cualquiera de la circunferencia y hacemos una circunferencia con el mismo radio que la dada, de esta manera tenemos ya tres puntos del hexágono regular inscrito, el centro B y los dos puntos de intersección DC con la circunferencia dada. Si tomamos ahora centro en cualquiera de estos dos puntos, por ejemplo el punto D y hacemos una circunferencia de igual radio obtenemos otro punto E del hexágono regular, haciendo lo mismo obtenemos los demás puntos FG.

Hexágono dado el lado - GeoGebra Hoja Dinámica






Hexágono dado el lado



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Para construir el hexágono regular dado que el lado AB, tomamos centro en los puntos extremos AB y como radio la distancia AB haciendo dos circunferencias que se cortan en un punto C que es el centro de la circunferencia que inscribe al hexágono regular. A partir de aquí ya es como el ejercicio anterior, tomamos la medida del lado y lo vamos pasando sobre la circunferencia obteniendo así el hexágono regular.








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Heptágono dada la circunferencia circunscrita - GeoGebra Hoja Dinámica






Heptágono dada la circunferencia circunscrita



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A construir el heptágono regular dada la circunferencia circunscrita, dibujamos dos diámetros perpendiculares por su centro, uno de ellos corta a la circunferencia en C, centro de la nueva circunferencia de igual radio que corta a la dada en los puntos DE.
Por D hacemos una circunferencia de radio DF que corta la circunferencia dada en G.
La distancia DG es el lado del heptágono regular que vamos trasladándolos sobre la circunferencia hasta su completa construcción.



Heptágono dado el lado - GeoGebra Hoja Dinámica






Heptágono dado el lado



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Para construir un heptágono regular dado el lado AB dibujamos una circunferencia tomando como centro el punto B y tomando como radio la distancia AB. Dibujamos otras circunferencias tomando como centro el punto A y radio la distancia AC. Por B dibujamos una recta perpendicular al segmento dado AB que corta la circunferencia de centro A en D. Dibujamos la bisectriz de los segmentos AD AB. Este lidia bisectriz corta al segmento vertical BD en E. Hacemos una nueva circunferencia rosa tomando centro en A y radio AE que corta a la vertical por la mediatriz AB en G.
G es el centro de la circunferencia que inscribe al heptágono y la distancia AE es el lado del heptágono que vamos trasladando a lo largo de la circunferencia para obtener la figura.


Octógono dada la circunferencia circunscrita - GeoGebra Hoja Dinámica






Octógono dada la circunferencia circunscrita



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Para construir un octógono dada la circunferencia circunscrita dibujamos los dos diámetros perpendiculares por el centro y sus dos bisectrices obteniendo en la intersección con la circunferencia dada todos los puntos de la figura.

Octógono dado el lado - GeoGebra Hoja Dinámica















Octógono dado el lado - GeoGebra Hoja Dinámica






Octógono dado el lado



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Para construir el octógono dado el lado AB dibujamos una circunferencia de diámetro AB que corta a la mediatriz del segmento dado en D. Hacemos centro en este punto  D y tomando como radio la distancia DB hacemos otra circunferencia que corta a la mediatriz anterior en F, centro de la nueva circunferencia que inscribe a la figura y por la que hay que trasladar el lado dado AB.























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Eneágono dada la circunferencia circunscrita - GeoGebra Hoja Dinámica






Eneágono dada la circunferencia circunscrita



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Eneágono dado el lado - GeoGebra Hoja Dinámica


Para construir un eneágono dada la circunferencia circunscrita se dibujan los dos diámetros perpendiculares, uno de ellos  corta a la circunferencia en los puntos BD. Hacemos centro en  B y tomando como radio la distancia desde este punto hasta el centro de la circunferencia A hacemos otra circunferencia azul de radio BA que corta a la dada en C. dibujamos una nueva circunferencia tomando como centro el punto D y como radio la distancia DC. Esta nueva circunferencia corta al diámetro verde en  E.
Tomamos centro en este E y  hacemos una circunferencia de radio EB que corta al segmento verde en el punto F. la intersección de la línea verde con la circunferencia dada determina el punto G que tomamos como centro de la circunferencia de radio FG, está corta a la circunferencia dada en H. La distancia HG es en realidad el lado del eneágono regular. A continuación trasladamos este segmento sobre la circunferencia para obtener el polígono completo.








Eneágono dado el lado



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Eneágono dado el lado 2 - GeoGebra Hoja Dinámica

Para construir el eneágono regular dado el lado AB dibujamos dos circunferencias (en color verde y rojo) tomando como centro los extremos del lado y como radio la longitud del lado. Estas circunferencias se cortan en un punto C por el que hacemos una circunferencia de radio la mitad del lado dado AB. Esta circunferencia corta a la mediatriz del segmento AB en el punto E, centro de la circunferencia en la que se inscribe el eneágono regular. A continuación vamos pasando mediante circunferencias en lado sobre esta circunferencia violeta hasta completar la figura.






Eneágono dado el lado 2



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Para construir en él eneágono regular por otro método dado el lado AB, dibujamos las dos circunferencias de radio AB y cuyos centros son los extremos de este lado de manera que se cortan en un punto C por el que hacemos una circunferencia roja tomando como radio la distancia de C a la intersección de la mediatriz de AB con la bisectriz de AC AB, esto es, el punto D.
Si dibujamos las rectas AC BC tenemos que ambas cortan a la circunferencia roja en EF que unidos definen un segmento que corta a la mediatriz de AB en el punto G, centro de la circunferencia azul que inscribe al eneágono regular de lado AB, y por la que vamos pasando este lado para completar la figura.





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Decágono dada la circunferencia circunscrita - GeoGebra Hoja Dinámica






Decágono dada la circunferencia circunscrita



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Para construir un decágono regular dada la circunferencia en la que se circunscribe, dibujamos dos diámetros perpendiculares de la circunferencia. Tomamos el radio de una de estas dos cuerdas, por ejemplo el segmento BA y construimos una circunferencia cuyo diámetro sea esta longitud. Si tomamos el centro C de esta circunferencia y lo unimos con D, intersección del otro diámetro construido anteriormente con la circunferencia obtenemos el segmento CD que corta a la circunferencia anterior en E. El segmento DE  es el lado del decágono regular que trasladamos a través de la circunferencia para construir la figura.


Decágono dada la circunferencia circunscrita 2 - GeoGebra Hoja Dinámica






Decágono dada la circunferencia circunscrita 2



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Decágono dado el lado - GeoGebra Hoja Dinámica




Para construir el decágono regular dada la circunferencia circunscrita (en color verde) por otro método, dibujamos los dos diámetros perpendiculares de la circunferencia y sobre el radio AB de uno de ellos tomamos el punto medio C por el que hacemos una circunferencia (en color verde) tomando como radio la distancia CD (siendo D la intersección de un diámetro con la circunferencia dada). La recta AB corta a la circunferencia verde en el punto E, la distancia AE es en realidad el lado del decágono que trasladamos sobre D para transportarla a continuación sobre la circunferencia, obteniendo así el polígono.







Decágono dado el lado 2 - GeoGebra Hoja Dinámica






Decágono dado el lado 



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Para construir el decágono dado el lado AB seguimos el mismo procedimiento que para construir un pentágono regular dado el lado (ejercicio 13 de este blog) y una vez que tenemos el vértice superior F, lo consideramos como centro de la circunferencia que inscribe a la nueva figura. A continuación trasladamos ese segmento dado AB sobre la circunferencia hasta obtener la figura completa.